07/08/2023
Las funciones racionales, definidas como el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), donde Q(x) no es idénticamente cero, presentan un comportamiento particular que se refleja en su representación gráfica. Comprender cómo graficar estas funciones implica analizar sus características clave: dominio, asíntotas, intersecciones con los ejes, y comportamiento en el infinito.

Dominio de una Función Racional
El dominio de una función racional está definido por todos los valores de xpara los cuales el denominador Q(x) es diferente de cero. Los valores de xque anulan el denominador representan discontinuidades, y son cruciales para determinar el dominio. Por ejemplo, en la función f(x) = (x+2)/(x-1), el dominio es todo ℝ excepto x = 1, ya que este valor hace que el denominador sea cero.
Para encontrar el dominio, se debe resolver la ecuación Q(x) = 0 y excluir las soluciones del conjunto de los números reales. El dominio se puede expresar mediante notación de intervalos o conjuntos.
Asíntotas de una Función Racional
Las asíntotas son rectas o curvas a las que se aproxima la gráfica de la función cuando xtiende a infinito o a un valor determinado. Existen tres tipos principales de asíntotas:
Asíntotas Verticales
Se producen en los valores de xque anulan el denominador Q(x) y no simplifican con el numerador P(x). En estos puntos, la función tiende a infinito (positivo o negativo). Para encontrarlas, se resuelve Q(x) = 0. Si un factor del denominador se cancela con un factor del numerador, no genera una asíntota vertical, sino una discontinuidad evitable.
Asíntotas Horizontales
Describen el comportamiento de la función cuando xtiende a infinito (positivo o negativo). Su existencia y ecuación dependen del grado del numerador y del denominador:
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la asíntota horizontal es y = 0.
- Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es y = a/b, donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el coeficiente principal del denominador.
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no existe asíntota horizontal. Puede haber una asíntota oblicua.
Asíntotas Oblicuas
Se presentan cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador. Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua, se realiza la división polinómica del numerador entre el denominador. La parte entera del cociente representa la ecuación de la asíntota oblicua (una recta de la forma y = mx + b).
Intersecciones con los Ejes
Para encontrar la intersección con el eje y (ordenada al origen), se evalúa la función en x = 0, siempre que 0 pertenezca al dominio. Para encontrar las intersecciones con el eje x (raíces), se resuelve la ecuación P(x) = 0, considerando las soluciones que pertenecen al dominio.
Comportamiento en el Infinito
El comportamiento de la función cuando xtiende a infinito (positivo o negativo) se puede determinar analizando el grado del numerador y el denominador, así como las asíntotas horizontales u oblicuas. Este análisis permite establecer si la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo.
Ejemplos
Analicemos la función racional f(x) = (x 2- 4) / (x - 2):
- Dominio: Todos los números reales excepto x =
- Asíntotas verticales: No existe asíntota vertical, ya que (x-2) simplifica en la factorización del numerador.
- Asíntotas horizontales: No hay asíntota horizontal.
- Asíntotas oblicuas: Al realizar la división, obtenemos f(x) = x + Por lo tanto, la asíntota oblicua es y = x +
- Intersecciones con los ejes: Intersección con el eje y: no existe porque x=0 no está en el dominio. Intersección con el eje x: x = -
- Comportamiento en el infinito: Para valores grandes de x, la función se aproxima a la asíntota oblicua y = x +
Otro ejemplo: Consideremos g(x) = (x + 1) / (x 2- 1).
- Dominio: Todos los números reales excepto x = 1 y x = -
- Asíntotas verticales: x = -
- Asíntotas horizontales: y = 0.
- Asíntotas oblicuas: No existen.
- Intersecciones con los ejes: Intersección con el eje y: (0, -1). Intersección con el eje x: (-1, 0).
- Comportamiento en el infinito: La función se aproxima a 0 cuando x tiende a infinito positivo o negativo.
Herramientas para la Representación Gráfica
Para facilitar el proceso de representación gráfica, existen diferentes herramientas y software matemáticos. Estos programas permiten generar gráficas precisas y ayudan a visualizar el comportamiento de la función.
Tabla Comparativa
Característica | Función f(x) = (x 2 - 4) / (x - 2) | Función g(x) = (x + 1) / (x 2 - 1) |
---|---|---|
Dominio | ℝ - {2} | ℝ - {1, -1} |
Asíntotas Verticales | Ninguna | x = -1 |
Asíntotas Horizontales | Ninguna | y = 0 |
Asíntotas Oblicuas | y = x + 2 | Ninguna |
Intersección con el eje y | No existe | (0, -1) |
Intersección con el eje x | (-2, 0) | (-1, 0) |
La representación gráfica de una función racional requiere un análisis cuidadoso de sus características. Comprender el dominio, las asíntotas, las intersecciones con los ejes y el comportamiento en el infinito es esencial para obtener una representación precisa y completa.