Gráfica de polos y ceros

05/06/2024

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La gráfica de polos y ceros es una herramienta fundamental en el análisis de sistemas de control, procesamiento de señales y otras áreas de la ingeniería. Esta representación visual proporciona una comprensión intuitiva del comportamiento de un sistema, permitiendo predecir su respuesta a diferentes entradas y facilitando el diseño de controladores y filtros. En este artículo, exploraremos en detalle qué son los polos y ceros, cómo se representan gráficamente y qué información podemos extraer de dicha representación.

Índice
  1. ¿Qué es un Polo y qué es un Cero?
  2. Representación Gráfica
    1. Información que se obtiene de la gráfica
  3. Ejemplos de Gráficas de Polos y Ceros
    1. Sistema Estable
    2. Sistema Inestable
    3. Sistema con Oscilaciones
  4. Tabla Comparativa de Sistemas
  5. Consultas Habituales
    1. ¿Cómo se construye una gráfica de polos y ceros?
    2. ¿Qué significa la distancia entre los polos y los ceros?
    3. ¿Cómo se utiliza la gráfica de polos y ceros en el diseño de controladores?
  6. Conclusión

¿Qué es un Polo y qué es un Cero?

Para comprender la gráfica de polos y ceros, primero debemos definir qué son los polos y los ceros en el contexto de una función de transferencia. Una función de transferencia describe la relación entre la entrada y la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). Se expresa como una razón de dos polinomios:

H(s) = N(s) / D(s)

donde:

  • H(s) representa la función de transferencia.
  • N(s) es el polinomio del numerador.
  • D(s) es el polinomio del denominador.
  • s es la variable compleja (s = σ + jω), donde σ representa la parte real y ω la parte imaginaria.

Los ceros de la función de transferencia son los valores de ' que hacen que el numerador N(s) sea igual a cero. En otras palabras, son las frecuencias complejas donde la salida del sistema es cero para una entrada no nula. Los ceros influyen en la forma de la respuesta del sistema, particularmente en la magnitud de la respuesta a ciertas frecuencias.

Los polos de la función de transferencia son los valores de ' que hacen que el denominador D(s) sea igual a cero. Estos representan las frecuencias complejas donde la función de transferencia se vuelve infinita. Los polos determinan la estabilidad y la respuesta transitoria del sistema. La ubicación de los polos en el plano complejo indica la naturaleza de la respuesta: polos en el semiplano izquierdo indican un sistema estable, mientras que polos en el semiplano derecho indican inestabilidad. Polos sobre el eje imaginario indican oscilaciones.

Representación Gráfica

La gráfica de polos y ceros se representa en el plano complejo, donde el eje horizontal corresponde a la parte real de ' (σ) y el eje vertical a la parte imaginaria (ω). Cada polo se representa con una 'x' y cada cero con un 'o'. La ubicación de estos puntos en el plano complejo proporciona información crucial sobre el comportamiento del sistema.

Información que se obtiene de la gráfica

  • Estabilidad del sistema: La ubicación de los polos determina la estabilidad del sistema. Si todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo (parte real negativa), el sistema es estable. Si hay polos en el semiplano derecho (parte real positiva), el sistema es inestable. Polos en el eje imaginario indican oscilaciones sostenidas.
  • Respuesta transitoria: La distancia de los polos al eje imaginario determina la velocidad de decaimiento de la respuesta transitoria. Polos más alejados del eje imaginario indican un decaimiento más rápido, mientras que polos más cercanos al eje indican un decaimiento más lento.
  • Respuesta en frecuencia: La proximidad de los polos y ceros al eje imaginario afecta la respuesta en frecuencia del sistema. Polos y ceros cercanos al eje imaginario pueden causar picos o caídas pronunciadas en la respuesta en frecuencia.
  • Margen de ganancia y margen de fase: La gráfica de polos y ceros puede utilizarse para determinar el margen de ganancia y el margen de fase, que son indicadores importantes de la robustez del sistema ante variaciones en los parámetros.

Ejemplos de Gráficas de Polos y Ceros

Para ilustrar la información que se obtiene de la gráfica de polos y ceros, consideremos algunos ejemplos:

Sistema Estable

Un sistema estable tendrá todos sus polos en el semiplano izquierdo. La respuesta transitoria será amortiguada y el sistema convergerá a un estado estable.

Sistema Inestable

Un sistema inestable tendrá al menos un polo en el semiplano derecho. La respuesta transitoria será divergente y el sistema se volverá inestable.

Sistema con Oscilaciones

Un sistema con polos en el eje imaginario tendrá oscilaciones sostenidas. La respuesta no decaerá con el tiempo.

Tabla Comparativa de Sistemas

Característica Sistema Estable Sistema Inestable Sistema con Oscilaciones
Ubicación de los Polos Semiplano Izquierdo Semiplano Derecho Eje Imaginario
Respuesta Transitoria Amortiguada Divergente Oscilaciones Sostenidas
Estabilidad Estable Inestable Marginalmente Estable

Consultas Habituales

A continuación, se responden algunas de las consultas más frecuentes sobre la gráfica de polos y ceros:

¿Cómo se construye una gráfica de polos y ceros?

Para construir una gráfica de polos y ceros, primero se debe obtener la función de transferencia del sistema. Luego, se encuentran las raíces del numerador (ceros) y del denominador (polos) de la función de transferencia. Finalmente, se representan estos valores en el plano complejo.

¿Qué significa la distancia entre los polos y los ceros?

La distancia entre los polos y los ceros afecta la forma de la respuesta en frecuencia del sistema. Una distancia pequeña puede causar picos pronunciados o caídas en la magnitud de la respuesta. Una distancia grande indica una respuesta más suave.

grafica de polos y ceros - Qué es un polo y un cero

¿Cómo se utiliza la gráfica de polos y ceros en el diseño de controladores?

La gráfica de polos y ceros se utiliza en el diseño de controladores para colocar los polos y ceros en ubicaciones que produzcan la respuesta deseada. Por ejemplo, se pueden añadir polos para aumentar el amortiguamiento del sistema y reducir las oscilaciones.

Conclusión

La gráfica de polos y ceros es una herramienta poderosa para analizar y diseñar sistemas de control. Proporciona una representación visual intuitiva del comportamiento del sistema, permitiendo comprender su estabilidad, respuesta transitoria y respuesta en frecuencia. El dominio de esta herramienta es esencial para cualquier ingeniero involucrado en el diseño y análisis de sistemas.

Palabras clave: Gráfica de polos y ceros, polos, ceros, función de transferencia, plano complejo, estabilidad, respuesta transitoria, respuesta en frecuencia, diseño de controladores, sistemas de control, procesamiento de señales.

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