Función logarítmica: ejercicios resueltos con gráfica

08/04/2024

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La función logarítmica, inversa de la función exponencial, es una herramienta fundamental en diversas áreas, desde la física y la química hasta la informática y las finanzas. Su comprensión requiere dominar sus propiedades y su representación gráfica. Este artículo te guiará a través de ejercicios resueltos, explicando cada paso del proceso y mostrando las gráficas correspondientes para una mejor comprensión.

Índice
  1. Logaritmos en Base 10: Conceptos Fundamentales
  2. Propiedades de los Logaritmos
  3. Ejercicios Resueltos
    1. Ejercicio 1: Calcular logaritmos
    2. Ejercicio 2: Simplificar expresiones logarítmicas
    3. Ejercicio 3: Resolver ecuaciones logarítmicas
    4. Ejercicio 4: Representación gráfica
  4. Consultas Habituales
  5. Tabla Comparativa
  6. Conclusión
  7. Ejercicios Adicionales

Logaritmos en Base 10: Conceptos Fundamentales

El logaritmo en base 10, también conocido como logaritmo común (log), responde a la pregunta: "¿A qué potencia debo elevar 10 para obtener un determinado número?"

Formalmente: Si 10 x= y, entonces log 10(y) = x.

Ejemplos:

  • log 10 (100) = 2, porque 10 2 = 100
  • log 10 (1000) = 3, porque 10 3 = 1000
  • log 10 (1) = 0, porque 10 0 = 1
  • log 10 (0.1) = -1, porque 10 -1 = 0.1

Observa que el logaritmo de un número menor que 1 es negativo, mientras que el logaritmo de un número mayor que 1 es positivo. El logaritmo de 1 es siempre 0, independientemente de la base.

Propiedades de los Logaritmos

Las propiedades de los logaritmos son esenciales para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Algunas de las más importantes son:

  • loga(xy) = loga(x) + loga(y) (Logaritmo de un producto)
  • loga(x/y) = loga(x) - loga(y) (Logaritmo de un cociente)
  • loga(xn) = n loga(x) (Logaritmo de una potencia)
  • loga(a) = 1
  • loga(1) = 0

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Calcular logaritmos

Calcula, sin calculadora, los siguientes logaritmos:

  1. log 10 (10000)
  2. log 10 (0.001)
  3. log 10 (10 -5 )

Solución:

  1. log 10 (10000) = 4 (ya que 10 4 = 10000)
  2. log 10 (0.001) = -3 (ya que 10 -3 = 0.001)
  3. log 10 (10 -5 ) = -5 (aplicando la propiedad de la potencia)

Ejercicio 2: Simplificar expresiones logarítmicas

Simplifica la siguiente expresión: log 2(8) + log 2(16) - log 2(4).

Solución:

log 2(8) + log 2(16) - log 2(4) = log 2(8 16 / 4) = log 2(32) = 5

Ejercicio 3: Resolver ecuaciones logarítmicas

Resuelve la ecuación: log 3(x) =

Solución:

Por definición de logaritmo, 3 2= x, por lo tanto, x =

Ejercicio 4: Representación gráfica

Representa gráficamente la función y = log 2(x).

Solución: Para graficar, podemos calcular algunos puntos:

x y = log 2 (x)
1 0
2 1
4 2
8 3
0.5 -1

La gráfica mostrará una curva creciente que pasa por los puntos calculados, con una asíntota vertical en x = 0.

Consultas Habituales

¿Qué es un logaritmo natural? El logaritmo natural (ln) es un logaritmo en base e(número de Euler, aproximadamente 718).

¿Cómo se utilizan los logaritmos en la vida real? Los logaritmos se usan en muchas áreas, incluyendo la medición de la intensidad de terremotos (escala Richter), el pH en química, la acústica y la gestión financiera.

Tabla Comparativa

Comparación entre logaritmo común y logaritmo natural:

Característica Logaritmo Común (log 10 ) Logaritmo Natural (ln)
Base 10 e (aprox. 718)
Uso común Cálculos generales Cálculo, física, ingeniería

Conclusión

La función logarítmica es una herramienta poderosa con aplicaciones en diversas disciplinas. Entender sus propiedades, resolver ecuaciones y representar gráficamente la función son habilidades cruciales para cualquier estudiante o profesional que trabaje con matemáticas avanzadas. La práctica regular con ejercicios, como los presentados en este artículo, fortalecerá tu comprensión y destreza en este importante concepto matemático.

Ejercicios Adicionales

Aquí tienes algunos ejercicios adicionales para practicar:

  1. Resuelve la ecuación: log 5 (x+2) =
  2. Simplifica: log 10 (100x) - log 10 (x).
  3. Grafica la función: y = log 10 (x).
  4. Determina el dominio y rango de la función y = log 2 (x-1).
  5. Resuelve la inecuación: log 2 (x) >

Recuerda que la práctica constante es clave para dominar la función logarítmica. ¡No dudes en consultar recursos adicionales y buscar ayuda si la necesitas!

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