Función lineal: ejercicios resueltos con gráfica y tabla de valores

Las funciones lineales son una parte fundamental del álgebra y se utilizan ampliamente en diversas áreas, desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias sociales. Una función lineal se caracteriza por su representación gráfica como una línea recta y su ecuación de la forma y = mx + b, donde 'm' representa la pendiente y 'b' la ordenada al origen.

Comprender las funciones lineales implica dominar la capacidad de representarlas de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla de valores y una gráfica. En este artículo, exploraremos ejercicios resueltos que ilustran cómo trabajar con estas representaciones, mostrando la interrelación entre ellas.

Ejercicios Resueltos: De la Tabla de Valores a la Ecuación y la Gráfica

Uno de los ejercicios más comunes implica obtener la ecuación de una función lineal a partir de una tabla de valores. Para ello, necesitamos identificar la pendiente (m) y la ordenada al origen (b). La pendiente se calcula como la razón de cambio entre dos puntos cualesquiera de la tabla: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Una vez obtenida la pendiente, podemos sustituir un punto de la tabla en la ecuación y = mx + b para hallar el valor de 'b'.

Ejercicio 1:

Consideremos la siguiente tabla de valores:

Solución:

1. Calcular la pendiente (m): Seleccionamos dos puntos, por ejemplo (0, 3) y (1, 5). Aplicando la fórmula: m = (5 - 3) / (1 - 0) = 2
2. Hallar la ordenada al origen (b): Sustituimos la pendiente (m = 2) y uno de los puntos (por ejemplo, (0, 3)) en la ecuación y = mx + b: 3 = 2(0) + b => b = 3
3. Escribir la ecuación: La ecuación de la función lineal es y = 2x + 3
4. Representar gráficamente: Para graficar, podemos utilizar los puntos de la tabla o generar puntos adicionales utilizando la ecuación. La gráfica será una línea recta que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5), con una pendiente de

Ejercicio 2:

Tabla de valores:

Solución:

1. Calcular la pendiente (m): Usando los puntos (0, 1) y (1, 4): m = (4 - 1) / (1 - 0) = 3
2. Hallar la ordenada al origen (b): Sustituyendo m = 3 y el punto (0, 1): 1 = 3(0) + b => b = 1
3. Escribir la ecuación: La ecuación es y = 3x + 1
4. Representar gráficamente: La gráfica es una línea recta con pendiente 3 y ordenada al origen

De la Ecuación a la Tabla de Valores y la Gráfica

Otro tipo de ejercicio consiste en obtener la tabla de valores y la gráfica a partir de la ecuación de una función lineal.

Ejercicio 3:

Dada la ecuación y = -x + 2, construir la tabla de valores y la gráfica.

Solución:

1. Construir la tabla de valores: Se seleccionan valores arbitrarios para 'x' y se sustituyen en la ecuación para obtener los valores correspondientes de 'y'.

1. Representar gráficamente: Se grafican los puntos obtenidos en la tabla y se traza una línea recta que los une. La gráfica mostrará una línea recta con pendiente -1 y ordenada al origen

Ejercicios con Problemas de la Vida Real

Las funciones lineales tienen numerosas aplicaciones prácticas. Consideremos algunos ejemplos:

Ejercicio 4:

Un taxi cobra una tarifa inicial de $3 y $2 por cada kilómetro recorrido. Escribir la ecuación que representa el costo total (y) en función de los kilómetros recorridos (x). Graficar la función y determinar el costo de un viaje de 5 km.

Solución:

La ecuación que representa el costo total es y = 2x + 3. Para un viaje de 5 km (x = 5), el costo sería y = 2(5) + 3 = $1

Consultas Habituales

• ¿Qué es una función lineal? Es una función que se representa gráficamente como una línea recta y cuya ecuación es de la forma y = mx + b.
• ¿Cómo se calcula la pendiente? La pendiente (m) se calcula como la diferencia entre las ordenadas dividida entre la diferencia entre las abscisas de dos puntos cualesquiera de la recta: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
• ¿Qué representa la ordenada al origen? La ordenada al origen (b) es el punto donde la recta corta al eje y (es decir, el valor de y cuando x = 0).
• ¿Cómo se grafica una función lineal? Se pueden utilizar dos puntos de la recta para trazarla, o se pueden generar varios puntos a partir de la ecuación y unirlos.

Tabla Comparativa de Métodos para Representar Funciones Lineales

Dominar las funciones lineales implica la habilidad de transitar fluidamente entre su representación algebraica (ecuación), tabular (tabla de valores) y gráfica. La práctica de ejercicios resueltos, como los presentados en este artículo, es fundamental para consolidar estos conocimientos y aplicarlos en la resolución de problemas de diferentes contextos.