Cómo se grafica una función de distribución acumulada

04/11/2024

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La función de distribución acumulada (FDA o CDF, por sus siglas en inglés) es un concepto fundamental en la teoría de probabilidad y estadística. Representa la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un valor específico. Su gráfica proporciona una visualización intuitiva de la distribución de probabilidad, mostrando la probabilidad acumulada a lo largo de todo el rango de valores posibles. Comprender cómo graficar una FDA es crucial para interpretar datos y realizar análisis estadísticos.

Índice
  1. Calculando la Función de Distribución Acumulada
    1. Pasos para graficar la FDA
  2. Ejemplos de Gráficas de FDA
    1. Distribución Normal
    2. Distribución Exponencial
    3. Distribución Uniforme
  3. Interpretación de la Gráfica de la FDA
  4. Herramientas para Graficar la FDA
  5. Consultas Habituales
  6. Tabla Comparativa de Distribuciones
  7. Conclusión

Calculando la Función de Distribución Acumulada

Para una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), la función de distribución acumulada F(x) se define como:

F(x) = P(X ≤ x) = ∫ -∞ xf(t) dt

Esto significa que F(x) es la integral de la función de densidad de probabilidad desde menos infinito hasta x. En otras palabras, F(x) representa el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad hasta el punto x.

Pasos para graficar la FDA

  1. Determinar la función de densidad de probabilidad f(x): El primer paso es identificar la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria. Esta función describe la probabilidad relativa de que la variable tome un valor específico.
  2. Calcular la función de distribución acumulada F(x): Una vez que se conoce f(x), se calcula la FDA integrando f(x) desde menos infinito hasta x. En algunos casos, esta integral puede resolverse analíticamente; en otros, se puede utilizar un método numérico de integración.
  3. Seleccionar un rango de valores para x: Para graficar la FDA, se necesita seleccionar un rango de valores para x que cubra el dominio de la variable aleatoria. Este rango debe ser lo suficientemente amplio como para incluir la mayoría de la probabilidad acumulada.
  4. Calcular los valores de F(x) para cada valor de x: Para cada valor de x en el rango seleccionado, se calcula el valor correspondiente de F(x) utilizando la fórmula de la FDA.
  5. Graficar los puntos (x, F(x)): Los pares de valores (x, F(x)) se grafican en un sistema de coordenadas cartesianas. La variable x se representa en el eje horizontal, y la probabilidad acumulada F(x) se representa en el eje vertical.
  6. Unir los puntos: Finalmente, se unen los puntos graficados para obtener la gráfica de la FDA. La gráfica de una FDA es siempre una función monótona no decreciente, es decir, su valor nunca disminuye a medida que x aumenta.

Ejemplos de Gráficas de FDA

Distribución Normal

La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad más comunes. Su FDA no tiene una expresión analítica cerrada, pero se puede calcular numéricamente o aproximar mediante tablas. La gráfica de la FDA de una distribución normal tiene una forma sigmoidea, aumentando suavemente desde 0 hasta

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es otra distribución comúnmente usada para modelar tiempos de espera o tiempos de vida. Su FDA tiene una expresión analítica simple: F(x) = 1 - e -λx, donde λ es el parámetro de la distribución. La gráfica de la FDA de una distribución exponencial empieza en 0 y se aproxima asintóticamente a 1 a medida que x aumenta.

Distribución Uniforme

La distribución uniforme es una distribución en la que todos los valores en un intervalo tienen la misma probabilidad. Su FDA es una función lineal que aumenta de 0 a 1 en el intervalo definido por la distribución. Fuera de este intervalo, la FDA es 0 o

Interpretación de la Gráfica de la FDA

La gráfica de la FDA proporciona información valiosa sobre la distribución de probabilidad. Por ejemplo:

  • Probabilidad de un evento: La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a x es simplemente el valor de F(x) en ese punto.
  • Cuantiles: Los cuantiles de una distribución se pueden obtener directamente de la gráfica de la FDA. Por ejemplo, el percentil 90 es el valor de x para el cual F(x) = 0.
  • Comparación de distribuciones: La gráfica de la FDA permite comparar visualmente diferentes distribuciones de probabilidad.

Herramientas para Graficar la FDA

Existen varias herramientas de software que pueden ayudar a graficar la FDA. Algunos ejemplos incluyen:

  • Software estadístico: Paquetes como R, SPSS, SAS, y Matlab tienen funciones para calcular y graficar la FDA.
  • Hojas de cálculo: Programas como Excel pueden realizar cálculos numéricos y generar gráficos de la FDA.
  • Calculadoras online: Existen calculadoras online que permiten calcular y graficar la FDA para diferentes distribuciones de probabilidad.

Consultas Habituales

¿Cómo se calcula la FDA para una variable discreta? Para una variable discreta, la FDA se calcula sumando las probabilidades de todos los valores menores o iguales a x.

¿Cuál es la diferencia entre la FDA y la función de densidad de probabilidad (FDP)? La FDP describe la probabilidad relativa de un valor específico, mientras que la FDA describe la probabilidad acumulada hasta un valor dado.

¿Cómo se utiliza la FDA en la inferencia estadística? La FDA juega un papel importante en la inferencia estadística, especialmente en la construcción de intervalos de confianza y en las pruebas de hipótesis.

¿Existen diferentes tipos de FDA? Si, existen diferentes tipos de FDA dependiendo de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Tabla Comparativa de Distribuciones

Distribución Función de Densidad de Probabilidad (FDP) Función de Distribución Acumulada (FDA)
Normal Compleja, no tiene una expresión analítica simple Compleja, se calcula numéricamente o mediante aproximaciones
Exponencial λe -λx 1 - e -λx
Uniforme 1/(b-a) para a ≤ x ≤ b, 0 en otro caso (x-a)/(b-a) para a ≤ x ≤ b, 0 para x < a, 1 para x > b
Binomial (n sobre k)p k (1-p) n-k Suma de probabilidades binomiales hasta k
Poisson k e )/k! Suma de probabilidades de Poisson hasta k

Nota: En la tabla anterior, 'n' representa el número de ensayos, 'k' representa el número de éxitos, 'p' representa la probabilidad de éxito, y 'λ' representa el parámetro de la distribución de Poisson.

Conclusión

La gráfica de la función de distribución acumulada es una herramienta poderosa para visualizar y comprender la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Su construcción y posterior análisis permite realizar inferencias estadísticas sólidas y comprender mejor la naturaleza de los datos.

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