10/04/2024
La escritura de la expresión factorizada de una gráfica es una habilidad fundamental en álgebra y cálculo. Permite comprender mejor el comportamiento de una función, identificar sus raíces (ceros o intersecciones con el eje x), y determinar otras características importantes como su comportamiento asintótico. Este artículo explorará en detalle cómo obtener la expresión factorizada a partir de una gráfica, cubriendo diversos casos y ofreciendo ejemplos prácticos.

Identificación de las raíces (ceros)
El primer paso crucial para escribir la expresión factorizada de una función a partir de su gráfica es identificar sus raíces. Las raíces son los valores de xpara los cuales la función f(x)es igual a cero. Gráficamente, estas son las intersecciones de la gráfica con el eje x.
Ejemplo: Si la gráfica intersecta el eje xen x = 2, x = -1y x = 5, significa que la función tiene raíces en esos puntos. Esto implica que ( x - 2), ( x + 1) y ( x - 5) son factores de la expresión factorizada.
Multiplicidad de las raíces
La multiplicidad de una raíz indica cuántas veces se repite esa raíz. Gráficamente, la multiplicidad se puede identificar observando el comportamiento de la gráfica en la vecindad de la raíz:
- Raíz de multiplicidad impar (1, 3, 5,...): La gráfica cruza el eje x en la raíz. Si la multiplicidad es 1, el cruce es "limpio"; si es mayor, el cruce se hace de manera más "plana".
- Raíz de multiplicidad par (2, 4, 6,...): La gráfica toca el eje x en la raíz, pero no lo cruza. La gráfica "rebota" en el eje x .
Ejemplo: Si la gráfica toca el eje xen x = 3sin cruzarlo, significa que x = 3es una raíz de multiplicidad par (posiblemente 2). En este caso, ( x - 3)² sería un factor de la expresión factorizada.
Consideración del comportamiento asintótico
Para funciones racionales (fracciones de polinomios), es esencial analizar el comportamiento asintótico, es decir, cómo se comporta la función cuando xtiende a infinito o a menos infinito. Las asíntotas verticales y horizontales proporcionan información adicional para determinar la expresión factorizada.
Asíntotas verticales: Indican valores de xdonde la función tiende a infinito o menos infinito. Estos valores están relacionados con los factores en el denominador de la función racional.
Asíntotas horizontales: Indican el valor al cual tiende la función cuando xtiende a infinito o menos infinito. Esto ayuda a determinar el grado del numerador y el denominador.
Determinación del factor de escala
Después de identificar las raíces y sus multiplicidades, la expresión factorizada tendrá la forma:
f(x) = a(x - r₁)^m₁(x - r₂)^m₂...(x - rₙ)^mₙ
donde:
- a es un factor de escala (una constante).
- r₁, r₂, ..., rₙ son las raíces.
- m₁, m₂, ..., mₙ son las multiplicidades de las raíces.
Para determinar el valor de a, se necesita un punto adicional de la gráfica ( x, y) que no sea una raíz. Sustituyendo este punto en la ecuación, se puede resolver para a.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Función polinómica
Supongamos que la gráfica de una función polinómica intersecta el eje xen x = -2(multiplicidad 1) y x = 1(multiplicidad 2). Además, sabemos que la gráfica pasa por el punto (0, 2). La expresión factorizada tendrá la forma:
f(x) = a(x + 2)(x - 1)²
Sustituyendo el punto (0, 2):
2 = a(0 + 2)(0 - 1)²
2 = 2a
a = 1
Por lo tanto, la expresión factorizada es:
f(x) = (x + 2)(x - 1)²
Ejemplo 2: Función racional
Imaginemos una gráfica con asíntotas verticales en x = -1y x = 3, una raíz en x = 2(multiplicidad 1), y una asíntota horizontal en y = 0. Esto sugiere una función de la forma:
f(x) = a(x - 2) / [(x + 1)(x - 3)]
Si la gráfica pasa por el punto (0, 2/3), sustituyendo:
2/3 = a(0 - 2) / [(0 + 1)(0 - 3)]
2/3 = 2a/3
a = 1
La expresión factorizada es:
f(x) = (x - 2) / [(x + 1)(x - 3)]
Consultas habituales
¿Cómo encontrar la expresión factorizada de una parábola? Para una parábola, se identifican las raíces (intersecciones con el eje x) y se utiliza la forma factorizada f(x) = a(x - r₁)(x - r₂), donde r₁y r₂son las raíces y aes el factor de escala.
¿Cómo determinar la multiplicidad de una raíz a partir de la gráfica? Observando cómo la gráfica cruza o toca el eje x en la raíz. Un cruce indica multiplicidad impar, mientras que un toque sin cruce indica multiplicidad par.
¿Qué hacer si la gráfica no intersecta el eje x? Si la gráfica no tiene raíces reales, la expresión factorizada involucrará raíces complejas. En estos casos, se necesitan técnicas más avanzadas de álgebra.
Tabla comparativa: Multiplicidad y comportamiento gráfico
Multiplicidad | Comportamiento gráfico en la raíz |
---|---|
Impar (1, 3, ..) | Cruza el eje x |
Par (2, 4, ..) | Toca el eje x sin cruzarlo |
Conclusión
Escribir la expresión factorizada de una gráfica requiere una cuidadosa observación de las características de la gráfica, incluyendo las raíces, sus multiplicidades, y el comportamiento asintótico. La práctica y la comprensión de los conceptos fundamentales son claves para dominar esta habilidad esencial en matemáticas.
Recuerda que este proceso puede volverse más complejo con funciones de mayor grado o funciones con raíces complejas. En esos casos, se pueden requerir herramientas y técnicas más avanzadas de análisis matemático.