Amplitud y periodo de las funciones trigonométricas: ejercicios con gráfica

Las funciones trigonométricas, como el seno, el coseno y la tangente, describen relaciones entre ángulos y lados de un triángulo rectángulo, y tienen aplicaciones en diversas áreas, desde la física y la ingeniería hasta la música y el arte. Comprender sus características principales, como la amplitud y el periodo, es fundamental para su correcto manejo e interpretación.

Amplitud

La amplitud de una función trigonométrica representa la distancia vertical máxima desde la línea media (o eje horizontal) hasta el punto más alto o más bajo de la gráfica. En otras palabras, mide la variación máxima de la función con respecto a su valor medio. Para las funciones seno y coseno, la amplitud se representa con la letra 'A' y se encuentra en la ecuación general: y = A sen(Bx + C) + D o y = A cos(Bx + C) + D. En estas ecuaciones, |A| es la amplitud. Si A es positivo, la gráfica comienza en el mismo sentido que la función básica (seno o coseno); si es negativo, se refleja con respecto al eje x.

Ejemplo: y = 3 sen(x) tiene una amplitud de La gráfica oscila entre -3 y

Periodo

El periodo de una función trigonométrica es la distancia horizontal que separa dos puntos consecutivos que tienen el mismo valor en la gráfica. Es la longitud de un ciclo completo de la función. Para las funciones seno y coseno, el periodo se denota con la letra 'P' y se calcula con la fórmula: P = 2π/|B|, donde B es el coeficiente de x en la ecuación general (y = A sen(Bx + C) + D o y = A cos(Bx + C) + D). La tangente tiene un periodo de π.

Ejemplo: y = sen(2x) tiene un periodo de P = 2π/2 = π. La gráfica completa un ciclo en π unidades.

Ejercicios con Gráfica

Para comprender mejor la amplitud y el periodo, veamos algunos ejemplos con sus respectivas gráficas (que visualmente facilitarían la comprensión, pero que no se incluirán en este texto por las limitaciones indicadas). Analizaremos la ecuación, determinaremos la amplitud y el periodo, y luego describiremos el comportamiento de la gráfica.

Ejercicio 1:

Función: y = 2 cos(x)

Amplitud: |A| = 2

Periodo: P = 2π/1 = 2π

Descripción: La gráfica representa una onda cosenoidal con una amplitud de Completa un ciclo completo cada 2π unidades.

Ejercicio 2:

Función: y = - sen(3x)

Amplitud: |A| = 1

Periodo: P = 2π/3

Descripción: La gráfica es una onda senoidal con una amplitud de 1, reflejada con respecto al eje x debido al signo negativo. Completa un ciclo cada 2π/3 unidades.

Ejercicio 3:

Función: y = 1/2 sen(x/2)

Amplitud: |A| = 1/2

Periodo: P = 2π/(1/2) = 4π

Descripción: La gráfica es una onda senoidal con una amplitud de 1/Completa un ciclo cada 4π unidades. Es una onda más “estirada” horizontalmente.

Ejercicio 4:

Función: y = 4 cos(πx)

Amplitud: |A| = 4

Periodo: P = 2π/π = 2

Descripción: La gráfica es una onda cosenoidal con una amplitud de Completa un ciclo cada 2 unidades.

Tabla Comparativa

Consultas Habituales

• ¿Cómo afecta la amplitud a la gráfica? La amplitud determina la altura máxima y mínima de la onda.
• ¿Cómo afecta el periodo a la gráfica? El periodo determina la longitud de un ciclo completo de la onda.
• ¿Qué ocurre si la amplitud es negativa? La gráfica se refleja con respecto al eje x.
• ¿Cuál es la diferencia entre el periodo del seno y el coseno? No hay diferencia en el periodo básico, ambos son 2π.
• ¿Cómo se calcula el periodo de una función tangente? El periodo de la función tangente es π.

Aplicaciones de la Amplitud y el Periodo

La comprensión de la amplitud y el periodo es crucial en diversas aplicaciones:

• Modelado de fenómenos periódicos: Ondas sonoras, ondas electromagnéticas, movimientos oscilatorios (pendulo simple, sistemas masa-resorte), etc.
• Análisis de señales: Procesamiento de audio e imágenes.
• Ingeniería: Diseño de circuitos eléctricos, estructuras resistentes a vibraciones.
• Física: Movimiento ondulatorio, mecánica cuántica.

Dominar estos conceptos fundamentales permite un análisis más profundo y preciso de los fenómenos que se modelan con funciones trigonométricas.

Ejercicios Adicionales

Para practicar, intenta determinar la amplitud y el periodo de las siguientes funciones y bosquejar su gráfica (de nuevo, sin incluir la gráfica aquí por las restricciones):

1. y = 3 sen(2x + π)
2. y = -2 cos(x/4)
3. y = sen(πx) + 1
4. y = 2 cos(2x - π/2) - 1

Recuerda que la práctica constante es clave para una sólida comprensión de las funciones trigonométricas. A través de la resolución de ejercicios y el análisis de las gráficas, podrás afianzar tus conocimientos y aplicarlos en diferentes contextos.